Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=4cm，∠ABC=60°．
（1）求⊙O的直徑；
（2）若D是AB延長線上一點，連接CD，當BD長為多少時，CD與⊙O相切；
（3）若動點E從A點出發沿著AB方向運動，同時動點F從B點出發沿BC方向運動，設AE=x、BF=y，連接EF，求當△BEF為直角三角形時，寫出x、y的關系式，（不要求寫出x的取值范圍）．

Answer 1

分析：（1）由AB為圓O的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角得到∠C=90°，又∠ABC=60°得到∠A=30°，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，由BC求出AB的長，即為圓O的直徑；
（2）根據題意畫出圖形，當DB=OB時，CD與圓O相切，理由為：由OC=OB得到△OCB為等腰三角形，又∠ABC為60°，故△OCB為等邊三角形，進而得到CB=OB=OC，而OB=BD，故CB=OB=BD，根據一邊上的中線等于這邊的一半，得到這邊所對的角為直角，即∠OCD為直角，故DC與圓O相切；
（3）分∠EFB為直角和∠FEB為直角兩種情況考慮，由AB和BC的長，以及設出的AE=x，BF=y，利用三角形的相似即可表示出各自的y與x的函數關系式．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠C=90°，
又弦BC=4cm，∠ABC=60°，∴∠A=30°，
則⊙O的直徑AB=2BC=8cm；

（2）根據題意畫出圖形，如圖所示：
當BD=BC=4cm時，CD與圓O的相切，
證明：∵∠ABC=60°，OC=OB，
∴△OCB為等邊三角形，∴CB=OB=BD，
∴∠OCD=90°，
∴CD是圓O的切線；

（3）當∠EFB=90°時，畫出圖形得：
由AB為圓O的直徑得到∠C=90°，又∠B=60°，
∴∠A=30°，則AB=2BC=8，
∵∠EFB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△EFB∽△ACB，
∴

BE

AB

=

BF

BC

，即

8-x

8

=

y

4

，
∴y=-

1

2

x+4；
當∠FEB=90°時，畫出圖形得：
由∠B=∠B，∠FEB=∠C=90°，
∴△FEB∽△ACB，
∴

BE

BC

=

BF

AB

，即

8-x

4

=

y

8

，
∴y=-2x+16．

點評：此題綜合考查了切線的性質，圓周角定理及相似三角形的判斷與性質．其中證明切線的方法有：1、有點連接此點與半徑，證明夾角為直角；2、無點作垂線，證明垂線段等于半徑．動點問題注意審清題意，利用分類討論及數形結合的數學思想解決問題．