Question

如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=8，CD=10．
（1）求梯形ABCD的面積S；
（2）動點P從點B出發，以2cm/s的速度、沿B→A→D→C方向，向點C運動；動點Q從點C出發，以2cm/s的速度、沿C→D→A方向，向點A運動．若P、Q兩點同時出發，當其中一點到達目的地時整個運動隨之結束，設運動時間為t秒．
問：①當點P在B→A上運動時，是否存在這樣的t，使得直線PQ將梯形ABCD的周長平分？若存在，請求出t的值，并判斷此時PQ是否平分梯形ABCD的面積；若不存在，請說明理由；
②在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求面積要先求梯形的高，在直角三角形中用勾股定理進行求解，得出底邊后即可求出梯形的面積．
（2）①PQ平分梯形的周長，那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP，已知了AD，BC的長，可以用t來表示出AP，BP，CQ，QD的長，那么可根據上面的等量關系求出t的值，再求出梯形面積即可得出答案；
②分三種情況進行討論：
一、當P在AB上時，即0≤t≤4，等腰△PDQ以DQ為腰，因此DQ=DP或DQ=PQ，可以通過構建直角三角形來表示出DP，PQ的長，然后根據得出的等量關系來求t的值．
二、當P在AD上時，即4＜t＜5，由于BA+AD=CD=10，因此DP=DQ=10-2t，因此DP，DQ恒相等．
三、當P在CD上時，即5＜t≤6．綜合三種情況可得出等腰三角形以DQ為腰時，t的取值．
解答：解：（1）過D作DH∥AB交BC于H點，
∵AD∥BH，DH∥AB，
∴四邊形ABHD是平行四邊形．
∴DH=AB=8；BH=AD=2．
∵CD=10，
∴HC==6，
∴BC=BH+CH=8，
∴S_ABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．

（2）①∵BP=CQ=2t，
∴AP=8-2t，DQ=10-2t，
∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，
∴8-2t+2+10-2t=2t+8+2t．
∴t=＜4．
∴當t=秒時，PQ將梯形ABCD周長平分．
QC=3，PB=3，
∵QE∥DH，
∴==，
∴==，
∴QE=，EC=，
BE=8-=，
四邊形PBCQ面積=S_梯形QEBP+S_△QEC=（PB+QE）×BE+QE×EC，
=×（+3）×+××，
=，
=18.9，
所以PQ不平分梯形ABCD的面積．


②第一種情況：當0≤t≤4時．過Q點作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足為E、H．
∵AP=8-2t，AD=2，
∴PD==．
∵CE=t，QE=t，
∴QH=BE=8-t，BH=QE=t．
∴PH=2t-t=t．
∴PQ===，
DQ=10-2t．
Ⅰ：DQ=DP，10-2t=，
解得t=4秒．
Ⅱ：DQ=PQ，10-2t=，
化簡得：3t²-26t+45=0
解得：t=，t=＞4（不合題意舍去），
∴t=，
∴第二種情況：4≤t＜5時．DP=DQ=10-2t．
∴當4≤t＜5時，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．
第三種情況：5＜t≤6時．DP=DQ=2t-10．
∴當5＜t≤6時，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．
綜上所述，t=或4，4≤t＜5或5＜t≤6時，以DQ為腰的等腰△DPQ成立．
點評：此題主要考查了梯形的性質以及相似三角形的判定和性質等知識點，要注意（3）中要根據P，Q的不同位置，進行分類討論，不要漏解．