Question

【題目】（1）已知△ABC是等腰三角形，其底邊是BC,點D在線段AB上，E是直線BC上一點，且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°（如圖①）.求證：EB=AD；

（2）若將（1）中的“點D在線段AB上”改為“點D在線段AB的延長線上”，其他條件不變（如圖②），（1）的結論是否成立，并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】試題分析：（1）作DF∥BC交AC于F，由平行線的性質得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，證明△ABC是等邊三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，證出△ADF是等邊三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知條件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS證明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出結論；

（2）作DF∥BC交AC的延長線于F，同（1）證出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出結論.

試題解析：（1）證明：如圖，作DF∥BC交AC于F，

則△ADF為等邊三角形

∴AD=DF，又∵ ∠DEC=∠DCB，

∠DEC+∠EDB=60°，

∠DCB+∠DCF=60° ，

∴ ∠EDB=∠DCA ，DE=CD，

在△DEB和△CDF中，

∴△DEB≌△CDF，

∴BD=DF，

∴BE=AD .

(2). EB=AD成立；

理由如下：作DF∥BC交AC的延長線于F，如圖所示：

同（1）得：AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD，

又∵∠DBE=∠DFC=60°，

∴△DBE≌△CFD（AAS），

∴EB=DF，

∴EB=AD.