Question

【題目】在△ABC中，∠ACB＝45°，點D為射線BC上一動點（與點B、C不重合），連接AD，以AD為一邊在AD一側作正方形ADEF（如圖1）．

（1）如果AB＝AC，且點D在線段BC上運動，證明：CF⊥BD；

（2）如果AB≠AC，且點D在線段BC的延長線上運動，請在圖2中畫出相應的示意圖，此時（1）中的結論是否成立？請說明理由；

（3）設正方形ADEF的邊DE所在直線與直線CF相交于點P，若AC＝4，CD＝2，求線段CP的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AB≠AC時，CF⊥BD的結論成立．理由見解析；（3）線段CP的長為2﹣或2+．

【解析】

（1）證出∠BAC＝∠DAF＝90°，得出∠BAD＝∠CAF；可證△DAB≌△FAC（SAS），得∠ACF＝∠ABD＝45°，得出∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．

（2）過點A作AG⊥AC交BC于點G，可得出AC＝AG，易證△GAD≌△CAF（SAS），得出∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．

（3）分兩種情況去解答．①點D在線段BC上運動，求出AQ＝CQ＝4．即DQ＝4﹣2＝2，易證△AQD∽△DCP，得出對應邊成比例，即可得出CP＝；②點D在線段BC延長線上運動時，同理得出CP＝．

（1）證明：∵四邊形ADEF是正方形，

∴∠DAF＝90°，AD＝AF，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠BAD+∠DAC＝∠CAF+∠DAC＝90°，

∴∠BAD＝∠CAF，

在△BAD和△CAF中，，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF＝∠ABD＝45°

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ACB＝∠ABD＝45°

∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，

∴CF⊥BD；

（2）解：如圖2所示：AB≠AC時，CF⊥BD的結論成立．理由如下：

過點A作GA⊥AC交BC于點G，

則∠GAD＝∠CAF＝90°+∠CAD，

∵∠ACB＝45°，

∴∠AGD＝45°，

∴AC＝AG，

在△GAD和△CAF中， ，

∴△GAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF＝∠AGD＝45°，

∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，

∴CF⊥BD；

（3）解：過點A作AQ⊥BC交CB的延長線于點Q，

①點D在線段BC上運動時，如圖3所示：

∵∠BCA＝45°，

∴△ACQ是等腰直角三角形，

∵AC＝4

∴AQ＝CQ＝AC＝．

∴DQ＝CQ﹣CD＝﹣2，

∵AQ⊥BC，∠ADE＝90°，

∴∠DAQ+∠ADQ＝∠ADQ+∠PDC＝90°，

∴∠DAQ＝∠PDC，

∵∠AQD＝∠DCP＝90°，

∴△DCP∽△AQD，

∴，即，

解得：CP＝2﹣；

②點D在線段BC延長線上運動時，如圖4所示：

∵∠BCA＝45°，

∴AQ＝CQ＝，

∴DQ＝AQ+CD＝+2．

∵AQ⊥BC于Q，

∴∠Q＝∠FAD＝90°，

∵∠C′AF＝∠C′CD＝90°，∠AC′F＝∠CC′D，

∴∠ADQ＝∠AFC′，

則△AQD∽△AC′F．

∴CF⊥BD，

∴△AQD∽△DCP，

∴，即，

解得：CP＝，

綜上所述，線段CP的長為或．