Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切⊙O于點C，BD⊥PD，垂足為D，連接BC
（1）求證：BC平分∠PBD；
（2）求證：PC2=PAPB；
（3）若PA=2，PC=2 ，求陰影部分的面積（結果保留π）

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵PD切⊙O于點C，

∴OC⊥PD，

∵BD⊥PD，

∴BD∥OC，

∴∠DBC=∠BCO，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∴∠OBC=∠CBD，

∴BC平分∠PBD

（2）證明：連接AC，

∵AB是半圓O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠ABC=90°，

∵∠PCA+∠ACO=90°，

∴∠ACP=∠ABC，

∵∠P=∠P，

∴△ACP∽△CBP，

∴ ，

∴PC2=PAPB

（3）解：∵PC2=PAPB，PA=2，PC=2 ，

∴PB=6，

∴AB=4，

∴OC=2，PO=4，

∴∠POC=60°，

∴S陰影=S△POC﹣S扇形= 2 ×2﹣ =2 ﹣ π．

【解析】（1）連接OC，由PD切⊙O于點C，得到OC⊥PD，根據平行線的性質得到∠DBC=∠BCO，根據的預計實現的性質得到∠OCB=∠OBC，等量代換得到∠OBC=∠CBD，于是得到即可；（2）連接AC，由AB是半圓O的直徑，得到∠ACB=90°，推出∠ACP=∠ABC，根據相似三角形的性質即可得到結論；（3）根據圖形的面積公式即可得到結果．
【考點精析】本題主要考查了角平分線的性質定理和切線的性質定理的相關知識點，需要掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能正確解答此題．