Question

如圖一，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF和⊙O相切于點C，AD⊥EF，垂足為D．
（1）求證：∠CAD=∠BAC；
（2）如圖二，若把直線EF向上移動，使得EF與⊙O相交于G，C兩點（點C在點G的右側），連接AC，AG，若題中其他條件不變，這時圖中是否存在與∠CAD相等的角？若存在，找出一個這樣的角，并證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）證明：如圖一，連接OC，則OC⊥EF，且OC=OA，
易得∠OCA=∠OAC．
∵AD⊥EF，
∴OC∥AD．
∴∠OCA=∠CAD，
∴∠CAD=∠OAC．
即∠CAD=∠BAC．


（2）解：與∠CAD相等的角是∠BAG．
證明如下：
如圖二，連接BG．
∵四邊形ACGB是⊙O的內接四邊形，
∴∠ABG+∠ACG=180°．
∵D，C，G共線，
∴∠ACD+∠ACG=180°．
∴∠ACD=∠ABG．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BAG+∠ABG=90°
∵AD⊥EF
∴∠CAD+∠ACD=90°
∴∠CAD=∠BAG．
分析：（1）連接OC，根據切線的性質定理以及等角的余角相等即可證明；
（2）構造直徑所對的圓周角，根據等弧所對的圓周角相等以及等角的余角相等，發現∠BAC=∠GAD，再根據等式的性質即可證明∠BAG=∠DAC．
點評：此題運用了切線的性質定理、圓周角定理的推論．注意根據等角的余角相等是證明角相等的一種常用方法．