Question

【題目】如圖，定義：若雙曲線 (k＞0)與它的其中一條對(duì)稱(chēng)軸y＝x相交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)度為雙曲線 (k＞0)的對(duì)徑．

(1)求雙曲線的對(duì)徑．

(2)若雙曲線 (k＞0)的對(duì)徑是，求k的值．

(3)仿照上述定義，定義雙曲線 (k＜0)的對(duì)徑．

Answer 1

【答案】（1）2（2）25 (3) 若雙曲線 (k＜0)與它的其中一條對(duì)稱(chēng)軸y＝－x相交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)稱(chēng)為雙曲線 (k＜0)的對(duì)徑

【解析】解：如圖，過(guò)A點(diǎn)作AC⊥x軸于C，

（1）解方程組，得，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－1)。

∴OC＝AC＝1，∴OA＝OC＝。∴AB＝2OA＝2，

∴雙曲線的對(duì)徑是2。

（2）∵雙曲線的對(duì)徑為，即AB＝，OA＝5。

∴OA＝OC＝AC，∴OC＝AC＝5。∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(5，5)。

把A(5，5)代入雙曲線 (k＞0)得k＝5×5＝25，即k的值為25。

（3）若雙曲線 (k＜0)與它的其中一條對(duì)稱(chēng)軸y＝－x相交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)稱(chēng)為雙曲線 (k＜0)的對(duì)徑。

過(guò)A點(diǎn)作AC⊥x軸于C，

（1）解方程組，可得到A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－1)，即OC＝AC＝1，由勾股定理可求AB，于是得到雙曲線的對(duì)徑。

（2）根據(jù)雙曲線的對(duì)徑的定義得到當(dāng)雙曲線的對(duì)徑為，即AB＝，OA＝5，根據(jù)OA＝OC＝AC，則OC＝AC＝5，得到點(diǎn)A坐標(biāo)為(5，5)，把A(5，5)代入雙曲線 (k＞0)即可得到k的值；

（3）雙曲線 (k＜0)的一條對(duì)稱(chēng)軸與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)題目中的定義易得到雙曲線（k＜0)的對(duì)徑。