Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C= 90°，D是BC邊上一點，以DB為直徑的⊙O經過AB的中點E，交AD的延長線于點F，連接EF．

（1）求證：∠1= ∠F；

（2）若CD= 3，EF=，求⊙O的半徑長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接DE，由BD是⊙O的直徑，得到∠DEB=90°，由于E是AB的中點，得到DA=DB，根據等腰三角形的性質得到∠1=∠B等量代換即可得到結論；

（2）由（1）知，AE=EF，AD=BD，AB=，設BD=a，則在Rt△ABC和Rt△ACD中，根據勾股定理可得()2﹣(a+3)2=a2﹣32，解方程即可得.

試題解析：（1）連接DE，

∵BD是⊙O的直徑，∴∠DEB=90°，

∵E是AB的中點，∴DA=DB，

∴∠1=∠B，

∵∠B=∠F，

∴∠1=∠F；

（2）由（1）知，AE=EF，AD=BD，AB=，

在Rt△ABC中，AB2-BC2=AC2，

在Rt△ACD中，AD2-CD2=AC2，

所以AB2-BC2= AD2-CD2，

設BD=a，則()2﹣(a+3)2=a2﹣32，

a=﹣8（舍）或a=5，

∴半徑為．