Question

如圖，四邊形ABCD中，△ABM，△CDN是分別以AB、CD為一條邊的正三角形，E、F分別在這二個三角形外接圓上，試問AE+EB+EF+FD+FC是否存在最小值？若存在最小值，則E、F兩點的位置在什么地方？并說明理由．若不存在最小值，亦請說出理由．

Answer 1

解：如圖，在兩正三角形內作正△BEP、正△CFQ，連接PE、PM，QD，QN．
易證，△BPM≌△BEA，△CDF≌△CNQ，
∴PM=AE，QN=DF，
∴AE+EB+EF+FD+FC=MP+PE+EF+FQ+QN．
所以，AE+EB+EF+FD+FC存在最小值，即E、F兩點位于MN與兩圓的兩個交點．
分析：本題先通過證明△BPM≌△BEA，△CDF≌△CNQ，得出PM=AE，QN=DF，進而可求MP+PE+EF+FQ+QN的最小值；
注意：由兩點之間線段最短得出E、F兩點位于MN與兩圓的兩個交點．
點評：本題綜合考查了直線與圓、圓與圓的位置關系、全等三角形的判定、及兩點之間線段最短．