Question

（2011•常州）在平面直角坐標系XOY中，一次函數的圖象是直線l₁，l₁與x軸、y軸分別相交于A、B兩點．直線l₂過點C（a，0）且與直線l₁垂直，其中a＞0．點P、Q同時從A點出發，其中點P沿射線AB運動，速度為每秒4個單位；點Q沿射線AO運動，速度為每秒5個單位．
（1）寫出A點的坐標和AB的長；
（2）當點P、Q運動了多少秒時，以點Q為圓心，PQ為半徑的⊙Q與直線l₂、y軸都相切，求此時a的值．

Answer 1

解：（1）∵一次函數的圖象是直線l₁，l₁與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，
∴y=0時，x=﹣4，
∴A（﹣4，0），AO=4，
∵圖象與y軸交點坐標為：（0，3），BO=3，
∴AB=5；
（2）由題意得：AP=4t，AQ=5t，==t，
又∠PAQ=∠OAB，
∴△APQ∽△AOB，
∴∠APQ=∠AOB=90°，
∵點P在l₁上，
∴⊙Q在運動過程中保持與l₁相切，
①當⊙Q在y軸右側與y軸相切時，設l₂與⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB，得：
∴，
∴PQ=6；
連接QF，則QF=PQ，由△QFC∽△APQ∽△AOB，
得：，
∴，
∴，
∴QC=，
∴a=OQ+QC=，
②當⊙Q在y軸的左側與y軸相切時，設l₂與⊙Q相切于E，由△APQ∽△AOB得：=，
∴PQ=，
連接QE，則QE=PQ，由△QEC∽△APQ∽△AOB得：=，
∴，=，
∴QC=，a=QC﹣OQ=，
∴a的值為和，

解析