Question

【題目】如圖，邊長為4的等邊三角形AOB的頂點O在坐標原點，點A在x軸正半軸上，點B在第一象限．一動點P沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒．將線段BP的中點繞點P按順時針方向旋轉60°得點C，點C隨點P的運動而運動，連接CP、CA，過點P作PD⊥OB于點D．

（1）填空：PD的長為　 　用含t的代數式表示）；

（2）求點C的坐標（用含t的代數式表示）；

（3）在點P從O向A運動的過程中，△PCA能否成為直角三角形？若能，求t的值．若不能，請說明理由；

（4）填空：在點P從O向A運動的過程中，點C運動路線的長為　 　．

Answer 1

【答案】（1）∵△AOB是等邊三角形，

∴OB=OA=AB=4，∠BOA=∠OAB=∠ABO=60°．

∵PD⊥OB，∴∠PDO=90°，∴∠OPD=30°，∴OD=OP．∵OP=t，∴OD=t，在Rt△OPD中，由勾股定理，得PD=

（2）如圖（1）過C作CE⊥OA于E，∴∠PEC=90°，

∵OD=t，∴BD=4-t．

∵線段BP的中點繞點P按順時針方向旋轉60°得點C，

∴∠BPC=60°．∵∠OPD=30°，

∴∠BPD+∠CPE=90°．∴∠DBP=∠CPE

∴△PCE∽△BPD

∴，

∴，，

∴CE=，PE=，OE=，∴C（，）．

（3）如圖（3）當∠PCA=90度時，作CF⊥PA，∴△PCF∽△ACF，∴，∴CF2=PFAF，

∵PF=，AF=4-OF=2-CF=，

∴（）2=（）（2-），

求得t=2，這時P是OA的中點．

如圖（2）當∠CAP=90°時，C的橫坐標就是4，

∴2+=4∴t=

（4）設C（x，y），

∴x=2+，y=，∴y=x-，

∴C點的運動痕跡是一條線段．當t=0時，C1（2，0），當t=4時，C2（5，），∴由兩點間的距離公式得：C1C2=2．

【解析】

此題考核相似三角形的判定和性質，旋轉的性質