Question

【題目】如圖，已知頂點為C（0，﹣3）的拋物線D1：y＝ax2+b（a≠0）與x軸交于A，B兩點，直線L：y＝x+m過頂點C和點B．

（1）求拋物線D1：y＝ax2+b（a≠0）的解析式；

（2）點D（0，），在x軸上任取一點Q（x，0），連接DQ，作線段DQ的垂直平分線l1，過點Q作x軸的垂線，記l2，l2與l1的交點為P（x，y），在x軸上多次改變點Q的位置，相應的點P也在坐標系中形成了曲線路徑D2，寫出點P（x，y）的路徑D2所滿足的關系式（即x，y所滿足的關系式），能否通過平移、軸對稱或旋轉變換，由拋物線D1得到曲線D2？請說明理由．

（3）拋物線D1上是否存在點M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣3；（2）可將拋物線D1向上平移個單位長度得到曲線D2；理由見解析；（3）M的坐標為（3，6）或（，﹣2）．理由見解析.

【解析】

（1）根據一次函數圖象上點的坐標特征可得得B的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線D1的解析式；

（2）如圖1，連接PD，根據垂直平分線的性質可得PD=PQ，根據兩點間距離公式可得出y與x的關系式，根據二次函數圖象的平移規律即可得答案；

（3）如圖2，根據點B、C坐標可得△OBC是等腰直角三角形，可得∠OCB＝45°，分點M在點B上方和下方兩種情況，分別求出CE、CF的解析式，并與拋物線D1聯立，求出點M的坐標即可.

（1）∵點C（0，-3）和點B在直線L上，

∴當x＝0時，y＝m=-3；

∴當y＝0時，x＝﹣m=3，

∴B（3，0），

∵拋物線D1：y＝ax2+b的頂點為C（0，﹣3），且經過點B，

∴，

解得：，

∴拋物線D1：y＝ax2+b的解析式為y＝x2﹣3.

（2）如圖1，連接PD，

∵l1是線段DQ的垂直平分線

∴PD＝PQ，

∵P（x，y），D（0，），Q（x，0），

∴x2+（y﹣）2＝y2，

整理，得y＝x2+，

∴路徑D2所滿足的關系式為y＝x2+，

∵﹣（﹣3）＝，

∴可將拋物線D1向上平移個單位長度得到曲線D2.

（3）∵C（0，﹣3），B（3，0），

∴OB＝OC，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠OCB=∠OBC＝45°，

①如圖2，若點M在點B上方，設MC交x軸于點E，則∠OEC＝45°+15°＝60°，

∵∠MCB=15°，

∴∠OCE=∠OBC-∠MCB=30°，

∴CE=2OE，

∴OE2+OC2=CE2=(2OE)2，即OE2+9=4OE2，

∴OE＝（負值舍去），

∴點E（，0），

設直線CE解析式為y＝kx﹣3，

∴k-3=0，

解得：k＝，

∴yCE＝x﹣3，

聯立，得，

解得，或，

∴M1（3，6）；

②如圖2，若點M在點B下方，設MC交x軸于點F，

∴∠OFC＝∠OBC-∠MCB=45°﹣15°＝30°，

∴CF=2OC=6，

∴OF＝＝3，

∴點F（3，0），

設直線CF解析式為y＝kx﹣3，

∴3k-3=0，

解得：k＝，

∴yCF＝x﹣3，

聯立，得，

解得，或，

∴M2（，﹣2），

綜上所述，M的坐標為（3，6）或（，﹣2）．