Question

善于不斷改進學習方法的小迪發現，對解題進行回顧反思，學習效果更好，某一天小迪有20分鐘時間可用于學習，假設小迪用于解題的時間x（單位：分鐘）與學習收益量y的關系如圖1所示，用于回顧反思的時間x（單位：分鐘）與學習收益的關系如圖2所示（其中OA是拋物線的一部分，A為拋物線的頂點），且用于回顧反思的時間不超過用于解題的時間。

      圖1                           圖2

（1）求小迪解題的學習收益量y與用于解題的時間x之間的函數關系式；
（2）求小迪回顧反思的學習收益量y與用于回顧反思的時間x的函數關系式；
（3）問小迪如何分配解題和回顧反思的時間，才能使這20分鐘的學習收益總量最大？

Answer 1

解：（1）由題圖，設y=kx，當x=l，時y=2，解得k=2，
所以y=2x（0≤x≤20）
即小迪解題的學習收益量y與用于解題的時間x之間的函數關系式是y=2x；
（2）由題圖，當0≤x<4時，設y=a（x-4）²+16，
當x=0時，y=0，
所以0=16a+16，
所以a=-1，
所以y=-（x-4）²+16，
即y=-x²+8x；
當4≤x≤10時，y=16，
因此y=
即小迪回顧反思的學習收益量y用于回顧反思的時間x的函數關系式是
y=
（3）設小迪用于回顧反思的時間為x（0≤x≤10）分鐘，學習收益總量為y，則他用于解題的時間為（20-x）分鐘，
當0≤x<4時，
y=-x²+8x+2（20-x）=-x²+6x+40=-（x-3）²+49，
當x=3時，y_最大=49，
當4 ≤x≤10時，y=16+2（20-x）=56-2x，
y隨 x的增大而減小，因此當x=4時，y_最大=48，
綜上，當x=3時，y_最大=49，此時20-x=17，
答：小迪用于回顧反思的時間為3分鐘，用于解題的時間為17分鐘時，學習收益總量最大。