Question

已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=，若以O為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內，將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內的點C處．

（1）求經過點O，C，A三點的拋物線的解析式．
（2）求拋物線的對稱軸與線段OB交點D的坐標．
（3）線段OB與拋物線交與點E，點P為線段OE上一動點（點P不與點O，點E重合），過P點作y軸的平行線，交拋物線于點M，問：在線段OE上是否存在這樣的點P，使得PD=CM？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）
（2）（，1）
（3）存在。理由見解析

分析：（1）在Rt△AOB中，根據AO的長和∠BOA的度數，可求得OB的長，根據折疊的性質即可得到OA=OC，且∠BOC=∠BOA=30°，過C作CD⊥x軸于D，即可根據∠COD的度數和OC的長求得CD、OD的值，從而求出點C、A的坐標，將A、C、O的坐標代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組即可求出待定系數的值，從而確定該拋物線的解析式。
（2）求出直線BO的解析式，進而利用x=求出y的值，即可得出D點坐標。
（3）根據（1）所得拋物線的解析式可得到其頂點的坐標（即C點），設直線MP與x軸的交點為N，且PN=t，在Rt△OPN中，根據∠PON的度數，易得PN、ON的長，即可得到點P的坐標，然后根據點P的橫坐標和拋物線的解析式可求得M點的縱坐標，過M作MF⊥CD（即拋物線對稱軸）于F，過P作PQ⊥CD于Q，若PD=CM，那么CF=QD，根據C、M、P、D四點縱坐標，易求得CF、QD的長，聯立兩式即可求出此時t的值，從而求得點P的坐標。
解：（1）過點C作CH⊥x軸，垂足為H，

∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=，
∴，AB=2。
由折疊的性質知：∠COB=30°，OC=AO=，
∴∠COH=60°，OH=，CH=3。
∴C點坐標為（，3）。
∵O點坐標為：（0，0），∴拋物線解析式為（a≠0）。
∵圖象經過C（，3）、A（，0）兩點，
∴，解得。
∴此拋物線的函數關系式為：。
（2）∵AO=，AB=2，∴B點坐標為（，2）。
∴設直線BO的解析式為：y=kx，則2=k，解得：k=。
∴設直線BO的解析式為：y=x。
∵的對稱軸為直線，
∴將兩函數聯立得出：y=。
∴拋物線的對稱軸與線段OB交點D的坐標為：（，1）。
（3）存在。
∵的頂點坐標為（，3），即為點C，
MP⊥x軸，垂足為N，設PN=t；
∵∠BOA=30°，∴ON=t。∴P（t，t）。
作PQ⊥CD，垂足為Q，MF⊥CD，垂足為F，

把x=t代入，得，
∴M（t，﹣），F（，）。
同理：Q（，t），D（，1）。
要使PD=CM，只需CF=QD，即，解得t=，t=1（舍去）。
∴P點坐標為。
∴存在滿足條件的P點，使得PD=CM，此時P點坐標為