Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點E是AD的中點，∠EBC的平分線交CD于點F，將△DEF沿EF折疊，點D恰好落在BE上M點處，延長BC、EF交于點N．有下列四個結論：
①DF=CF；
②BF⊥EN；
③△BEN是等邊三角形；
④S△BEF=3S△DEF ．
其中，將正確結論的序號全部選對的是（　　）

A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF，
由折疊的性質可得：∠EMF=∠D=90°，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF=MF，
∴DF=CF；故①正確；
∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF，
∴∠BFM=∠BFC，
∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，
∴∠BFE=∠BFN，
∵∠BFE+∠BFN=180°，
∴∠BFE=90°，
即BF⊥EN，故②正確；
∵在△DEF和△CNF中，
，
∴△DEF≌△CNF（ASA），
∴EF=FN，
∴BE=BN，
假設△BEN是等邊三角形，則∠EBN=60°，∠EBA=30°，
則AE= BE，又∵AE= AD，則AD=BC=BE，
而明顯BE=BN＞BC，
∴△BEN不是等邊三角形；故③錯誤；
∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM=BC=AD=2DE=2EM，
∴BE=3EM，
∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF；
故④正確．
故選B．

由折疊的性質、矩形的性質與角平分線的性質，可證得CF=FM=DF；
易求得∠BFE=∠BFN，則可得BF⊥EN；易證得△BEN是等腰三角形，但無法判定是等邊三角形；易求得BM=2EM=2DE，即可得EB=3EM，根據等高三角形的面積比等于對應底的比，即可求得答案．