Question

已知關于x的方程（x-3）（x-2）-p²=0
（1）無論p為何值時，方程（x-3）（x-2）-p²=0總有兩個不相等的實數根嗎？給出你的答案并說明理由．（2）若方程的一個根是x₁=1，求方程的另一個根x₂及p的值．

Answer 1

分析：（1）根據題意，要使方程總有兩個不相等的實數根，只需使它的△＞0恒成立，判斷它的△可得結論；
（2）由根與系數的關系可得x₁+x₂=5，x₁•x₂=6-p²；而方程的一個根是x₁=1，代入可得x₂與p的值．

解答：（1）證明：方程（x-3）（x-2）-P²=0變為x²-5x+6-p²=0
其判別式△=1+4p²恒大于0，
所以無論p取何值，原方程總有兩個不等的實數根，

（2）解：由根與系數的關系可得
x₁+x₂=5
x₁•x₂=6-p²
得x₂=4，p=±

2

；
所以另一個根是4，p的值是±

2

．

點評：主要考查了根的判別式和根與系數的關系．要掌握根與系數的關系式：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．已知一元二次方程的一個根，利用一元二次方程根與系數的關系求解方程的另一根與未知系數是常見的題型，需要熟練掌握．