Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD與EF的交點．
（1）求證：△BCF≌△DCE；
（2）求證：BF=DE，BF⊥DE；
（3）若BC=5，CF=3，∠BFC=90°，求DG：GC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，易得BC=DC，∠BCF=∠ECD，又由CE=CF，利用SAS即可證得△BCF≌△DCE；
（2）首先延長BF交DE于H，由△BCF≌△DCE，根據(jù)全等三角形的對應邊相等，即可得BF=DE，又由全等三角形的對應角相等，易求得∠CDE+∠2=90°，則可得BF⊥DE；
（3）由BC=5，CF=3，∠BFC=90°，利用勾股定理即可求得BF的長，又由△BCF≌△DCE，即可得DE的長，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°，然后證得△DGE∽△CGF，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD，
∴∠BCF+∠FCD=90°，
∵△ECF是等腰直角三角形，CF=CE，
∴∠ECD+∠FCD=90°，
∴∠BCF=∠ECD．
在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE（SAS）；

（2）證明：延長BF交DE于H，
∵△BCF≌△DCE，
∴BF=DE，∠CBF=∠CDE，
∵∠CBF+∠1=90°，∠1=∠2，
∴∠2+∠CDE=90°，
∴∠DHF=90°，
∴BF⊥DE；

（3）解：在△BFC中，BC=5，CF=3，∠BFC=90°，
∴BF===4．
∵△BCF≌△DCE，
∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°．
∴DE∥FC．
∴△DGE∽△CGF．
∴DG：GC=DE：CF=4：3．
點評：此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．