Question

22、探究下列幾何題：
（1）如圖（1）所示，在△ABC中，CP⊥AB于點P，求證：AC²-BC²=AP²-BP²；
（2）如圖（2）所示，在四邊形ABCD中，AC⊥BD于點P，猜一猜AB，BC，CD，DA之間有何數量關系，并用式子表示出來（不用證明）；
（3）如圖（3）所示，在矩形ABCD中，P是其內部任意一點，試猜想AP，BP，CP，DP之間的數量關系，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ACP和Rt△BPC中利用勾股定理表示CP整理就可以得到；
（2）根據AC⊥BD，分別利用勾股定理表示出AB，BC，CD，DA，再根據AP、PC、PB、PD就可以得出數量關系；
（3）構造直角三角利用勾股定理表示AP，BP，CP，DP結合（2）的經驗，就可以得到它們的關系．

解答：解：（1）證明：∵在Rt△ACP中
PC²=AC²-AP²
在Rt△BCP中，PC²=BC²-BP²
∴AC²-BC²=AP²-BP²

（2）解：∵AB²=AP²+PB²，BC²=BP²+CP²，CD²=CP²+DP²，AD²=DP²+AP²
∴AB²+CD²=AD²+BC²

（3）解：PA²+PC²=PB²+PD²
證明：過P作EF∥AD交AB，CD于E，F，過P作MN∥AB交AD，BC于M，N
則PA²=AM²+PM²，PB²=BN²+PN²，PC²=PN²+NC²，PD²=MD²+PM²
∵AM=BN，MD=NC，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．

點評：主要考查勾股定理的運用，多次運用勾股定理，再根據相等線段得到所需數量關系．