Question

已知關于x的方程（k-1）x²-6x+9=0
（1）若方程有實數根，求k的取值范圍；
（2）若方程有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍；
（3）若方程有兩個相等的實數根，求k的值，并求此時方程的根．

Answer 1

【答案】分析：（1）分類討論：當k-1=0，即k=1，方程化為-6x+9=0，有解；當k-1≠0，即k≠1，根據△的意義得△≥0，即6²-4×（k-1）×9≥0，解不等式組得k的范圍，然后綜合得到k的取值范圍；
（2）當k-1≠0，即k≠1，根據△的意義得△＞0，即6²-4×（k-1）×9＞0，解不等式組即可得到k的取值范圍；
（3）當k-1≠0，即k≠1，根據△的意義得△=0，即6²-4×（k-1）×9=0，解方程可得到k的值，再把k的值代入方程得到x²-6x+9=0，然后利用因式分解法解方程即可．
解答：解：（1）當k-1=0，即k=1，方程化為-6x+9=0，x=，
當k-1≠0，即k≠1，且△≥0，即6²-4×（k-1）×9≥0，解得k≤2，則k≤2且k≠1，
綜上所述：k的取值范圍k≤2；

（2）∵方程有兩個不相等的實數根，
∴k-1≠0，即k≠1，且△＞0，即6²-4×（k-1）×9＞0，解得k＜2，則k＜2且k≠1，
∴k＜2且k≠1；

（3）∵方程有兩個相等的實數根，
∴k-1≠0，即k≠1，且△=0，即6²-4×（k-1）×9=0，解得k=2，
原方程變形為：x²-6x+9=0，
∴（x-3）²=0，
∴x₁=x₂=3．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程的定義以及分類討論思想的運用．