Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，過點A作AE∥DC交BC于點E．
（1）求證：四邊形AECD是菱形．
（2）在（1）的條件下，若∠B=30°，AE⊥AB，以點A為圓心，AE的長為半徑畫弧交BE于點F，連接AF，在圖中，用尺規補齊圖形（僅保留作圖痕跡），并證明點F是BE的中點．

Answer 1

證明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∵AD=CD，
∴四邊形AECD是菱形．

（2）補齊圖形：
證明：∵∠B=30°，AE⊥AB，
∴∠AEB=60°，
∵AE=AF，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AF=BF，∠EAF=60°，
∴∠BAF=90°-∠EAF=30°，
∴∠BAF=∠B，
∴AF=BF，
∴BF=EF，
即點F是BE的中點．
分析：（1）由AD∥BC，AE∥DC，可證得四邊形AECD是平行四邊形，又由AD=CD，即可證得四邊形AECD是菱形．
（2）由∠B=30°，AE⊥AB，AE=AF，易得△AEF是等邊三角形，繼而證得△ABF是等腰三角形，則可證得BF=AF=EF，即可得點F是BE的中點．
點評：此題考查了梯形的性質、平行四邊形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質以及等腰三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．