Question

如圖，四邊形OABC是面積為4，且在第一象限內的一個正方形，一反比例函數圖象經過點B．
（1）求此反比例函數的解析式．
（2）點P是反比例函數上異于B點的任意一點，過點P分別作x軸，y軸的垂線，垂足為E，F，得到長方形OEPF．若設該長方形與正方形OABC不重疊的部分的面積為s，當s=2時，求點P的坐標．

Answer 1

解：（1）設所求的反比例函數的解析式為y=．
∵正方形OABC的面積為4，
∴OA=AB=2，
∴B點坐標為（2，2）．
把B（2，2）代入y=，得k=2×2=4，
∴此反比例函數的解析式為y=；

（2）如圖，設P點（m，n）是反比例函數上異于B點的任意一點．
∵P（m，n）在y=的圖象上，
∴mn=4．
∵點P在第一象限內，異于B點，
∴m＞0且m≠2，
∴分兩種情況：
①點P在點B的左側即0＜m＜2，
則S=PF•FC=m（n-2）=mn-2m=4-2m=2，
解得m=1，則n=4，
∴P點坐標為（1，4）；
②點P在點B的右側即m＞2，
S=AE•PE=（m-2）•n=mn-2n=4-2n=2，
解得n=1，則m=4，
∴P點坐標為（4，1）．
所以點P的坐標為（1，4）或（4，1）．
分析：（1）設所求的反比例函數的解析式為y=，先利用正方形的性質得出OA=AB=2，則B點坐標為（2，2）；再把B點坐標代入，運用待定系數法即可求出此反比例函數的解析式；
（2）設P點（m，n）是反比例函數上異于B點的任意一點，則mn=4．分兩種情況討論：①點P在點B的左側即0＜m＜2；②點P在點B的右側即m＞2．針對這兩種情況，都可知該長方形與正方形OABC不重疊的部分為一個矩形，然后根據此矩形的面積為2列出方程，解方程即可．
點評：本題考查了反比例函數的綜合題的解法：利用待定系數法確定反比例的解析式，那么圖象上所有點的橫縱坐標的乘積為定值．也考查了矩形的性質以及分類討論思想的運用．