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如圖,已知AB是⊙O的直徑,點C、D在⊙O上,點E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°.
(1)求∠ABC的度數(shù);
(2)求證:AE是⊙O的切線;
(3)當BC=4時,求劣弧AC的長.

【答案】分析:(1)由圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,即可求得∠ABC的度數(shù);
(2)由AB是⊙O的直徑,根據(jù)半圓(或直徑)所對的圓周角是直角,即可得∠ACB=90°,又由∠BAC=30°,易求得∠BAE=90°,則可得AE是⊙O的切線;
(3)首先連接OC,易得△OBC是等邊三角形,則可得∠AOC=120°,由弧長公式,即可求得劣弧AC的長.
解答:解:(1)∵∠ABC與∠D都是弧AC所對的圓周角,
∴∠ABC=∠D=60°; 

(2)∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°.
∴∠BAC=30°,
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°,
即BA⊥AE,
∴AE是⊙O的切線;

(3)如圖,連接OC,
∵∠ABC=60°,
∴∠AOC=120°,
∴劣弧AC的長為
點評:此題考查了切線的判定、圓周角定理以及弧長公式等知識.此題難度適中,注意數(shù)形結(jié)合思想的應用,注意輔助線的作法.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知AB是⊙O的直徑,AC是弦,D為AB延長線上一點,DC=AC,∠ACD=120°,BD=10.
(1)判斷DC是否為⊙O的切線,并說明理由;
(2)求扇形BOC的面積.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點,∠BAC的平分線交⊙O于點D,交⊙O的切線BE于點E,過點D作DF⊥AC,交AC的延長線于點F.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)若DF=3,DE=2
①求
BEAD
值;
②求圖中陰影部分的面積.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•泰安)如圖,已知AB是⊙O的直徑,AD切⊙O于點A,點C是
EB
的中點,則下列結(jié)論不成立的是(  )

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知AB是⊙O的直徑,P為⊙O外一點,且OP∥BC,∠P=∠BAC.
求證:PA為⊙O的切線.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知AB是圓O的直徑,∠DAB的平分線AC交圓O與點C,作CD⊥AD,垂足為點D,直線CD與AB的延長線交于點E.
(1)求證:直線CD為圓O的切線.
(2)當AB=2BE,DE=2
3
時,求AD的長.

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