Question

如圖1，在平面直角坐標系中，M為x軸正半軸上一點，⊙M與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點D，P是AB延長線上的一點，過P點作⊙M的切線，切點為C，連接AC，交y軸于點E．若D點的坐標為（0，

3

），B點的坐標為（3，0）．

（1）求M點的坐標；
（2）若∠CPA=30°，求CE的長；
（3）在（2）的條件下，若點P在AB的延長線上運動，∠CPA的平分線交AC于點Q．過C、Q、P作⊙N（如圖2），弦FQ⊥PQ，試找出線段CQ、FQ、PQ之間的固定的數量關系，并證明．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理直接求出r，進而得出M點坐標；
（2）首先求出AC的長，再設OE=x，則AE=2x，在Rt△AOE中，OE²+OA²=AE²，得出AE的長即可得出答案；
（3）首先得出∠CQP=45°，進而得出△QCF≌△CGP（AAS），即可得出線段CQ、FQ、PQ之間的固定的數量關系．

解答：解：（1）如圖1，連接DM，設MD=MC=r，則MO=3-r
在Rt△DOM中，MO²+OD²=MD²，
即(3-r)2+(

3

)2=r2，
解得：r=2，
∴MO=3-r=3-2=1，
∴M（1，0）；

（2）如圖1，連接MC，由題意：∠MCP=90°
∵∠CPA=30°，
∴∠CMP=60°，
∵MA=MC，
∴∠MAC=∠MCA=

1

2

∠CMP=30°，
∴AC=

3

r=2

3

，
在Rt△AOE中，∠MAC=30°，
∴OE=

1

2

AE，
設OE=x，則AE=2x，
在Rt△AOE中，OE²+OA²=AE²，即x²+1²=（2x）²
解得：x=

3

3

，
∴AE=2x=

2 3

3

，
∴CE=AC-AE=2

3

-

2 3

3

=

4 3

3

；

（3）PQ-FQ=

2

CQ．
證明：如圖2，過C作CG⊥CQ，交PQ于G，
如圖1，∵PQ是∠CPA的平分線，
∴∠CPQ=∠QPA，
∵MA=MC，
∴∠CAM=∠ACM；
在△PCM中，
∵∠CAP+∠ACP+∠CPA=180°，
∴2∠CAM+2∠QPA=90°，∠CAM+∠QPA=45°，
∴∠CQP=∠CAP+∠QPA=45°，
即∠CQP的大小不發生變化為45°，
∵CG⊥CQ，
∴∠QCG=90°，
∴∠CGQ=∠CQG=45°，
∴CQ=CG，QG=

2

QC，
∵FQ⊥PQ，
∴∠FQP=90°，
∴∠FCP=90°，
∵∠QCF+90°=∠QCG+∠PCG=90°+∠PCG，
∴∠PCG=∠QCF，
在△QCF和△CGP中，

∠QFC=∠CPG ∠FCQ=∠PCG QC=CG

，
∴△QCF≌△CGP（AAS），
∴QF=PG，
∴PQ-PG=QG，即PQ-FQ=

2

QC．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及全等三角形的判定與性質和角平分線的性質等知識，利用已知得出∠CQP的大小不發生變化為45°進而得出CQ=CG是解題關鍵．