Question

已知：如圖，△ABC內接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點F，交⊙O于點D，DE⊥AB于點E，且交AC于點P，連接AD． 
（1）AP=PD；
（2）請判斷A，D，F三點是否在以P為圓心，以PD為半徑的圓上？并說明理由；
（3）連接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半徑和DE的長．

Answer 1

分析：（1）根據圓周角定理得出∠DAC=∠CBD，以及∠CBD=∠DBA可得出∠DAC=∠DBA，再由直角三角形的性質即可得出答案；
（2）首先得出∠ADB=90°，再根據∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°得出∠PDF=∠PFD，從而得出PA=PF；
（3）利用圓心角、弧、弦的關系定理得出AD=CD，進而利用勾股定理求出AB的長，以及利用直角三角形面積公式求出DE的長即可．

解答：（1）證明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對的圓周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA，
∵AB是⊙O的直徑，DE⊥AB，
∴∠ADB=∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，
∴∠ADE=∠DBA，
∴∠DAC=∠ADE，
∴PA=PD；

（2）解：A，D，F三點是在以P為圓心，以PD為半徑的圓上．理由如下：
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，
∴PD=PA，
∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
∴PA=PF，即P是線段AF的中點，
故A，D，F三點是在以P為圓心，以PD為半徑的圓上；

（3）解：∵∠CBD=∠DBA，
∴CD=AD，
∵CD﹦3，∴AD=3，
∵∠ADB=90°，
∴AB=

AD2+BD2

=

32+42

=5，
故⊙O的半徑為2.5，
∵DE×AB=AD×BD，
∴5DE=3×4，
∴DE=2.4．
即DE的長為2.4．

點評：本題考查的是圓周角定理和等腰三角形的性質以及勾股定理和三角形面積公式等知識，根據證明PD=PA以及PD=PF得出答案是解決問題的關鍵．