Question

已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，BC在x軸上，點D為BC的中點，點A在第一象限內，AB與y軸的正半軸相交于點E，點B（-1，0），P是AC上的一個動點（P與點A、C不重合）

（1）（2分）求點A、E的坐標；
（2）（2分）若y=過點A、E，求拋物線的解析式。
（3）（5分）連結PB、PD，設L為△PBD的周長，當L取最小值時，求點P的坐標及L的最小值，并判斷此時點P是否在（2）中所求的拋物線上，請充分說明你的判斷理由

Answer 1

（1）E（0，）
（2）y=
（3）在解析:
解：（1）連結AD，不難求得A（1，2）
OE=，得E（0，）
（2）因為拋物線y=過點A、E
由待定系數法得：c=，b=
拋物線的解析式為y=
（3）大家記得這樣一個常識嗎？
“牽牛從點A出發，到河邊l喝水，再到點B處吃草，走哪條路徑最短？”即確定l上的點P
方法是作點A關于l的對稱點A'，連結A'B與l的交點P即為所求.
     
本題中的AC就是“河”，B、D分別為“出發點”和“草地”。
由引例并證明后，得先作點D關于AC的對稱點D'，
連結BD'交AC于點P，則PB與PD的和取最小值，

即△PBD的周長L取最小值。
不難求得∠D'DC=30º
DF=，DD'=2
求得點D'的坐標為（4，）
直線BD'的解析式為：x+
直線AC的解析式為：
求直線BD'與AC的交點可得點P的坐標（，）。
此時BD'===2
所以△PBD的最小周長L為2+2
把點P的坐標代入y=成立，所以此時點P在拋物線上。