Question

如圖，已知二次函數的圖像經過點B（1,2），與軸的另一個交點為A，點B關于拋物線對稱軸的對稱點為C，過點B作直線BM⊥軸垂足為點M．

（1）求二次函數的解析式；

（2）在直線BM上有點P（1，），聯結CP和CA，判斷直線CP與直線CA的位置關系，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，在坐標軸上是否存在點E，使得以A、C、P、E為

頂點的四邊形為直角梯形，若存在，求出所有滿足條件的點E的坐標；

若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）∵點B（1,2）在二次函數的圖像上，

  ∴  -

∴二次函數的解析式為

（2）直線CP與直線CA的位置關系是垂直

∵二次函數的解析式為

∴點A(3,0)   C(2,2)

∵P（1，）

∴      ∴    ∴∠PCA=90°

即CP⊥CA

(3)  假設在坐標軸上存在點E，使得以A、C、P、E為頂點的四邊形為直角梯形，

∵∠PCA=90°

則①當點E在軸上，PE//CA

∴△CBP∽△PME  ∴∴∴----------------------------(2分)

②當點E在軸上， PC//AE

∴△CBP∽△AOE  ∴∴∴---------------------------(2分)

即點Q的坐標、時，以A、C、P、E為頂點的四邊形為直角梯形。