Question

如圖，一個含45°的三角板HBE的兩條直角邊與正方形ABCD的兩鄰邊重合，過E點作EF⊥AE交∠DCE的角平分線于F點，試探究線段AE與EF的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：AE=EF．根據正方形的性質推出AB=BC，∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°，推出∠HAE=∠CEF，根據△HEB是以∠B為直角的等腰直角三角形，得到BH=BE，∠H=45°，HA=EC，根據CF平分∠DCE推出∠HAE=∠CEF，根據ASA證△HAE≌△CEF即可得到答案．
解答：線段AE與EF的數量關系為：AE=EF．
證明：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°，
又∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∵AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB（兩直線平行，內錯角相等）
∴∠HAE=∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠BEA=∠CEF，
又∵△HEB是以∠B為直角的等腰直角三角形，
∴BH=BE，∠H=45°，HA=BH-BA=BE-BC=EC，
又∵CF平分∠DCE，
∴∠FCE=45°=∠EHA，
在△HAE和△CEF中
∴△HAE≌△CEF（ASA），
∴AE=EF．
點評：此題考查線段相等的證明方法，可以通過全等三角形來證明．要判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．