Question

【題目】已知直線y=x+3與兩坐標軸分別相交于A、B兩點，若點P、Q分別是線段AB、OB上的動點，且點P不與A、B重合，點Q不與O、B重合．

（1）若OP⊥AB于點P，△OPQ為等腰三角形，這時滿足條件的點Q有幾個？請直接寫出相應的OQ的長；

（2）當點P是AB的中點時，若△OPQ與△ABO相似，這時滿足條件的點Q有幾個？請分別求出相應的OQ的長；

（3）試探究是否存在以點P為直角頂點的Rt△OPQ？若存在，求出相應的OQ的范圍，并求出OQ取最小值時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 點Q有三個，OQ的長為2或或 ；(2) 2個，OQ的長為2或；(3)存在，OQ取最小值時點P的坐標（，）．

【解析】

試題分析：（1）如圖1中，滿足條件的點Q有三個，分三種情形討論即可①QO=QP，②OP=OQ，③PO=PQ．

（2）如圖2中，滿足條件的點Q有2個．作⊥OB于，⊥OP于，可以證明、滿足條件，理由相似三角形的性質即可解決問題．

（3）存在．以OQ為直徑作⊙G，當⊙G與AB相切于點P時，∠OPQ=90°，此時OQ的值最小．由此求出OQ，即可解決問題．

試題解析：（1）如圖1中，滿足條件的點Q有三個．

理由：作PM⊥OB于M，作OP的垂直平分線交OP于F，交OB于．則=，△是等腰三角形，此時=OB=2．

∵A（0，3），B（4，0），

∴OA=3，OB=4，AB=5，

∵OP⊥AB，

∴OAOB=ABOP，

∴OP==，

當=OP時，△是等腰三角形，此時=，

當PO=時，∵PM⊥，

∴=2OM，

∵∠POM=∠，∠PMO=∠OPB，

∴△OPM∽△OBP，

∴=OMOB，

∴OM=，

∴=.

綜上所述，△OPQ為等腰三角形時，滿足條件的點Q有三個，OQ的長為2或或．

（2）如圖2中，滿足條件的點Q有2個．

理由：作⊥OB于，⊥OP于，

∵PA=PB，∠AOB=90°，

∴PA=PB=PO，

∴∠=∠ABO，∵∠=∠AOB，

∴△∽△BAO，

∵PA=PB，∥OA，

∴==OB=2，

∵∠=∠ABO，∠=∠AOB，

∴△∽△BOA，

∴，

∴，

∴=，

綜上所述，△OPQ與△ABO相似時，滿足條件的點Q有2個，OQ的長為2或．

（3）存在．理由如下：

如圖3中，以OQ為直徑作⊙G，當⊙G與AB相切于點P時，∠OPQ=90°，此時OQ的值最小．

∴設OG=GP=r，

∵AO=AP=3，

∴PB=AB=AP=2，

在Rt△PBG中，∵∠GPB=90°，PG=r，BG=4﹣r，PB=2，

∴，

∴r=，

∴OQ=2r=3，

∴當3≤OQ＜4時，△OPQ可為直角三角形．

作PM⊥OB于M．

∵PM∥OA，

∴，

∴，

∴PM=，BM=，

∴OM=4﹣=，

∴OQ取最小值時點P的坐標（，）．