Question

下列命題：
①在實數范圍內，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根為x=；
②若a+b+c=0，則b²-4ac≥0；
③△ABC的三邊為a，b，c是關于x的一元二次方程（c+b）x²-2ax+c-b=0有兩個相等的實數根，則△ABC為直角三角形；
④關于x的方程（k-3）x²+kx+1=0總有實數根．其中正確的是（ ）
A．①②③④
B．只有①③④
C．只有②③
D．只有②③④

Answer 1

【答案】分析：根據一元二次方程的求根根式對①進行判斷；由于x=1時，a+b+c=0，而a≠0，說明一元二次方程有實數根，根據△的意義可對②進行判斷；根據△的意義得到△=（2a）²-4（c+b）（c-b）=0，變形得a²+b²=c²，然后根據勾股定理的逆定理對③進行判斷；討論：當k-3=0，即k=3，方程為3x+1=0，方程有一個實數解，當k-3≠0，△=k²-4（k-3）=（k-2）²+8＞0，方程有方程有兩個不相等實數根，于是可對④進行判斷．
解答：解：在實數范圍內，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根為x=（b²-4ac≥0），所以①錯誤；若a+b+c=0，則x=1，方程有實數解，而a≠0，方程有實數根，所以②正確；△=（2a）²-4（c+b）（c-b）=0，則a²+b²=c²，△ABC為直角三角形，所以③正確；當k-3=0，即k=3，方程為3x+1=0，x=-，當k-3≠0，△=k²-4（k-3）=（k-2）²+8＞0，方程有兩個不相等實數根，所以方程（k-3）x²+kx+1=0總有實數根，所以④正確．
故選D．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了勾股定理的逆定理．