Question

如圖，△ABC是一個邊長為1的等邊三角形，BB₁是△ABC的高，B₁B₂是△ABB₁的高，B₂B₃是△AB₁B₂的高，…，B_n-1B_n是△AB_n-2B_n-1的高，則B₄B₅的長是

3

32

；猜想B_n-1B_n的長是

3

2n

．

Answer 1

分析：根據等邊三角形性質得出AB₁=CB₁=

1

2

，∠AB₁B=∠BB₁C=90°，由勾股定理求出BB₁=

3

2

，求出△ABC的面積是

3

4

；求出S△ABB1=S△BCB1=

3

8

，根據三角形的面積公式求出B₁B₂=

3

4

，由勾股定理求出BB₂，根據S△ABB1=S△BB1B2+S△AB 2B1代入求出B₂B₃=

3

8

=

3

23

，B₃B₄=

3

16

=

3

24

，B₄B₅=

3

32

=

3

25

，推出B_n-1B_n=

3

2n

．

解答：解：∵△ABC是等邊三角形，
∴BA=AC，
∵BB₁是△ABC的高，
∴AB₁=CB₁=

1

2

，∠AB₁B=∠BB₁C=90°，
由勾股定理得：BB₁=

12-( 1 2 )2

=

3

2

；
∴△ABC的面積是

1

2

×1×

3

2

=

3

4

；
∴S△ABB1=S△BCB1=

1

2

×

3

4

=

3

8

，
∴

3

8

=

1

2

×1×B₁B₂，
B₁B₂=

3

4

，
由勾股定理得：BB₂=

( 3 2 )2-( 3 4 )2

=

3

4

，
∵S△ABB1=S△BB1B2+S△AB 2B1，
∴

3

8

=

1

2

×

3

4

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×B₂B₃，
B₂B₃=

3

8

，
B₃B₄=

3

16

，
B₄B₅=

3

32

，
…，
B_n-1B_n=

3

2n

．
故答案為：

3

32

，

3

2n

．

點評：本題考查了等邊三角形的性質，勾股定理，三角形的面積等知識點的應用，關鍵是能根據計算結果得出規律．