Question

【題目】閱讀理解：

如圖①，點C將線段AB分成兩部分，若，則點C為線段AB的黃金分割點．

某研究學習小組，由黃金分割點聯想到“黃金分割線”，從而給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1，S2，如果，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．

問題解決：

如圖②，在△ABC中，已知D是AB的黃金分割點．

(1)研究小組猜想：直線CD是△ABC的黃金分割線，你認為對嗎？為什么？

(2)請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？

(3)研究小組探究發現：過點C作直線交AB于點E，過點D作DF∥CE，交AC于點F，連接EF(如圖③)，則直線EF也是△ABC的黃金分割線．請你說明理由．

Answer 1

【答案】(1)對．理由見解析；（2）三角形的中線不是該三角形的黃金分割線．（3）直線EF也是△ABC的黃金分割線．

【解析】（1）根據黃金分割的定義得，再根據三角形面積公式得到，，所以，然后根據黃金直線的定義得直線CD是△ABC的黃金分割線；

（2）根據三角形中線的性質和三角形面積公式得到，而＜1，由此可根據黃金直線的定義判斷三角形的中線不是該三角形的黃金分割線；

（3）根據兩平行線之間的距離定值，得到S△FDE=S△FDC，S△DEC=S△FEC，則S△AEF=S△ADC，S四邊形BEFC=S△BDC，然后由得到，則可根據黃金直線的定義判斷直線EF也是△ABC的黃金分割線．

（1）直線CD是△ABC的黃金分割線．理由如下：

∵點D是AB的黃金分割點，

∴，

∵，，

∴，

∴直線CD是△ABC的黃金分割線；

（2）∵三角形的中線把AB分成相等的兩條線段，即AD=BD，

∴，，

∴三角形的中線不是該三角形的黃金分割線；

（3）∵DF∥CE，

∴S△FDE=S△FDC，S△DEC=S△FEC，

∴S△AEF=S△ADC，S四邊形BEFC=S△BDC，

∵，

∴，

∴直線EF是△ABC的黃金分割線．