Question

如圖，已知A（1，0）、B（，）為直角坐標系內的兩點，點C在x軸的負半軸上，且OC=2OA，以A為圓心，OA為半徑作圓A，直線CD切圓A于D點，連接OD．
（1）求點D的坐標； 　　
（2）求經過O、B、D三點的拋物線的解析式； 　
（3）判斷在（2）中所得的拋物線上是否存在一點P，使△DCP∽△OCD？若存在，求出P點坐標？若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）連結AD作DE⊥OA于E 　　∴　A（1，0），OC=2OA，　
  　∴　AC=3，∠CDA=90°，sin∠ACD= 　　∴　sin∠ADE= ，　
  　∴　AE=，OE=，　　∴　DE==，
    ∴　D（，） 　　
（2）設拋物線y=ax²+bx+c過O（0，0），B（，），D（，），
    則c=0，　　
    ∴　 解得　
  　∴　所求拋物線為y=-x²+x 　　
（3）設⊙A與x軸的另一個交點為F（2，0）連結DF 　
   　∵　CD切⊙A于D，∠CDO=∠CFD，∠DCO=∠FCD，　
   　∴　△OCD∽△DCF 　　把x=2代入y=-x²+x得y=0 　
  　∴　F（2，0）在拋物線上，故F為所求點P 　
  　∴　拋物線上存在點P（2，0）使△CDP∽△OCD