Question

已知關于x的方程k²x²-（2k+1）x+1=0有兩個不相等的實數根x₁、x₂．
（1）求k的最小整數值；
（2）若（|x₁|-1）（|x₂|-1）=-3k，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據一元二次方程的根的判別式的符號列出關于k的不等式（2k+1）²-4k²＞0，且k≠0，通過解該不等式即可求得k的取值范圍，由此來確定k的最小整數值；
（2）根據根與系數的關系確定x₁x₂、x₁+x₂的符號，從而去掉絕對值，列出關于k的方程3k²+k+2=0，通過解方程即可求得k的值．
解答：解：（1）∵方程有兩個不相等的實數根，
∴△＞0，且k≠0，
即（2k+1）²-4k²＞0，
解得k＞-，
∵k取最小整數，
∴k=1；

（2）∵x₁、x₂是方程兩個不相等的實數根，
∴x₁+x₂=-=，x₁x₂==＞0，
∴x₁、x₂同號，
∴|x₁|•|x₂|=|x₁x₂|，|x₁|+|x₂|=|x₁+x₂|，
∵（|x₁|-1）（|x₂|-1）=-3k，
∴|x₁x₂|-（|x₁|+|x₂|）+1=-3k，
∴-+1=-3k，
由（1）知k＞-，
則|2k+1|=2k+1，
于是可得3k²+k-2=0，
解得k₁=，k₂=-1（不合題意，舍去）．
點評：此題考查了根與系數的關系與根的判別式的知識．此題比較簡單，注意掌握根與系數的關系：若一元二次方程x²+px+q=0的兩個根分別是x₁、x₂，則x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q．