Question

（2006•威海）拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過點A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），頂點為M點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）試判斷拋物線上是否存在一點P，使∠POM=90度？若不存在，說明理由；若存在，求出P點的坐標；
（3）試判斷拋物線上是否存在一點K，使∠OMK=90°？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了拋物線上A、B、C三點的坐標，可將三點坐標代入拋物線中，通過聯立方程組求出拋物線的解析式．
（2）本題可通過構建相似三角形來求解，過P作PE⊥y軸于E，過M作MF⊥y軸于F，如果∠POM=90°，那么△PEO∽△OFM，那么PE：OF=OE：BF，可根據拋物線的解析式求出M點的坐標，設出P點的坐標，然后根據得出的比例關系式即可求出P點的坐標．
（3）可過M作OM的垂線，設其與y軸的交點為N，如果直線MN與拋物線的交點除了M外還有另外一個，那么此點必為K點，因此關鍵是求出直線MN的解析式，然后聯立拋物線的解析式，看兩函數的交點個數即可．
解答：解：（1）根據題意，得
，
解得；
∴拋物線的解析式為y=x²-4x．

（2）拋物線上存在一點P，使∠POM=90?．
x=-=-=2，y==-4．
∴頂點M的坐標為（2，-4）．
設拋物線上存在一點P，滿足OP⊥OM，其坐標為（a，a²-4a）．
過P點作PE⊥y軸，垂足為E；過M點作MF⊥y軸，垂足為F．
則∠POE+∠MOF=90?，∠POE+∠EPO=90?．
∴∠EPO=∠FOM．
∵∠OEP=∠MFO=90?，
∴Rt△OEP∽Rt△MFO．
∴OE：MF=EP：OF．
即（a²-4a）：2=a：4．（7分）
解，得a₁=0（舍去），a₂=．
∴P點的坐標為（，）．

（3）過頂點M作MN⊥OM，交y軸于點N．則∠FMN+∠OMF=90?．
∵∠MOF+∠OMF=90?，
∴∠MOF=∠FMN．
又∵∠OFM=∠MFN=90?，
∴△OFM∽△MFN．
∴OF：MF=MF：FN．
即4：2=2：FN．
∴FN=1．
∴點N的坐標為（0，-5）．
設過點M，N的直線的解析式為y=kx+b．

解得
直線的解析式為y=x-5．
∴
把①代入②，
得x²-x+5=0．△=（-）²-4×5=-20=＞0．
∴直線MN與拋物線有兩個交點（其中一點為頂點M）．
∴拋物線上必存在一點K，使∠OMK=90°．
點評：本題主要考查二次函數解析式的確定、三角形相似、函數圖象交點等知識及綜合應用知識、解決問題的能力，同時注意解題時輔助線的運用．