Question

已知：a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊，a＞b，關于x的方程x²-2（a+b）x+2ab+c²=0有兩相等的實數根，且sin∠A：sin∠B=4：3，若△ABC外接圓面積為25π，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：根據一元二次方程有兩相等的實根知△=0，得出關于a，b，c的勾股算式，知道C為斜邊a，b為直角邊，由△ABC的外接圓面積知道C的長；再根據勾股定理和正切余切的關系式求出b，c的長，再求出△ABC的周長．

解答：解：關于x的方程x²-2（a+b）x+2ab+c²=0有兩相等的實數根，
∴方程的根的判別式為0，
即4（a+b）²-4（2ab+c²）=0，
整理得a²+b²=c²，
∴△ABC為直角三角形且∠C為直角．
又sin∠A：sin∠B=4：3，
可設a=4k，b=3k，c=5k；
因為Rt△ABC的斜邊為外接圓直徑，
∴π•(

5

2

k)2=25π，
解得k=2，
∴a=8，b=6，c=10；
即△ABC的周長為8+6+10=24．

點評：本題主要考查根的判別式，勾股定理及三角形外接圓的特點．