Question

已知：如圖所示，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于點D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于點E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G．
（1）求證：BF=AC；     
（2）求證：DG=DF．

Answer 1

分析：（1）根據三角形的內角和定理求出∠A=∠DFB，推出BD=DC，根據AAS證出△BDF≌△CDA即可；
（2）由已知條件和角平分線的性質求出∠DGF=∠DFG=67.5°，即可證明DG=DF．

解答：（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB，
∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，
∴∠DCB=90°-45°=45°=∠DBC，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDA中
∵

∠BDF=∠CDA ∠A=∠DFB BD=CD

，
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF=AC；

（2）證明：∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°，
∵∠BDF=∠BHG=90°，
∴∠BGH=∠BFD=67.5°，
∴∠DGF=∠DFG=67.5°，
∴DG=DF．

點評：本題考查了三角形的內角和定理，等腰三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定的應用，關鍵是推出△BDF≌△CDA和△AEB≌△CEB，題目綜合性比較強．