Question

【題目】已知，拋物線C1:y=- x2+mx+m+

（1）①當m=1時，拋物線與x軸的交點坐標為_______;②當m=2時，拋物線與x軸的交點坐標為________;

（2）①無論m取何值，拋物線經過定點P________;②隨著m的取值的變化，頂點M（x，y）隨之變化，y是x的函數，記為函數C2 ， 則函數C2的關系式為：________；

（3）如圖，若拋物線C1與x軸僅有一個公共點時，①直接寫出此時拋物線C1的函數關系式；②請在圖中畫出頂點M滿足的函數C2的大致圖象，在x軸上任取一點C，過點C作平行于y軸的直線l分別交C1、C2于點A、B，若△PAB為等腰直角三角形，求點C的坐標；

（4）二次函數的圖象C2與y軸交于點N，連接PN，若二次函數的圖象C1與線段PN有兩個交點，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，0）（3，0）；（﹣1，0）（5，0）；（2）（-1，0）； y= (x+1)；（3）點C的坐標為（1，0）或（-3，0）；（4）- ＜m≤0

【解析】

（1）①把m=1,y=0分別代入拋物線C1，得到一個一元二次方程，解方程即可求出交點橫坐標。其縱坐標都為0；②把①中的m=1改為m=2,方法相同；

（2）把二次函數的C1∴化為頂點式即可求得頂點為：M（m，(m+1)2）∴函數C2的關系式為 y= (x+1)2；

（3）①當拋物線C1與x軸僅有一個公共點時，即頂點在x軸上，此時M的縱坐標為0，由此可得 則m， 把m代入C1解析式即可；

②分析C1、C2 的解析式可以發現，這兩個函數關于x軸對稱，可據此畫函數的圖像；

（4） 若二次函數的圖象C1與線段PN有兩個交點，則其對稱軸與線段PN一定有交點，據此即可求出答案。

（1）①把m=1,y=0分別代入拋物線C1，得到一個一元二次方程，解方程即可求出交點橫坐標。其縱坐標都為0；②把①中的m=1改為m=2,方法相同；

（2）把二次函數的C1∴化為頂點式即可求得頂點為：M（m，(m+1)2）∴函數C2的關系式為 y= (x+1)2；

（3）解：如圖所示，

∵拋物線C1：y=- x2+mx+m+ 頂點在x軸，則m=-1，

∴拋物線C1：y=- x2-x- =- （x+1）2 ， P（-1，0），由②知，函數C2的關系式為y= (x+1)2；∴拋物線C1與C2關于x軸對稱，∵△PAB為等腰直角三角形，∴直角頂點只能是點P ， 且PC=BC=AC ， 設B（n ， (n+1)2），∴C（n ， 0），BC= (n+1)2 ， ∴PC=|n+1|，∴ (n+1)2=|n+1|，∴n=-1（舍）或n=1或n=-3．∴點C的坐標為（1，0）或（-3，0）

（4）解：- ＜m≤0

解：（1）①（﹣1，0）（3，0）；②（﹣1，0）（5，0）；（2）①∵拋物線C1：y=- x2+mx+m+ =- x2+m（x+1）+ ．

∴當x+1=0時，無論m為何值，拋物線經過定點P ， ∴x=-1，y=0，∴定點P（-1，0），故答案為：-1，0；

②拋物線C1：y=- x2+mx+m+ =- (x-m)2+ (m+1)2 ．

∴M（m， (m+1)2），∴函數C2的關系式為y= (x+1)2；故答案為：y= (x+1)2