Question

如圖，拋物線y=x²+mx+n交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，點P是它的頂點，點A的橫坐標是-3，點B的橫坐標是1．
（1）求m、n的值；
（2）求直線PC的解析式；
（3）請探究以點A為圓心、直徑為5的圓與直線PC的位置關系，并說明理由．（參考數：≈1.41，≈1.73，≈2.24）

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得A（-3，0）、B（1，0），代入拋物線解析式，可求m，n值；（2）由已知的二次函數解析式可求P，C兩點坐標，從而可求直線PC的解析式；（3）關鍵是求點A到直線PC的距離，再與圓的半徑2.5進行比較；為此，過點A作AE⊥PC，垂足為E，由△COD∽△AED，求出兩個三角形中相關線段長，利用相似比求AE；
解答：解：（1）由已知條件可知：拋物線y=x²+mx+n經過A（-3，0）、B（1，0）兩點．
∴，
解得m=1，n=-．

（2）∵y=x²+x-，
∴P（-1，-2），C．
設直線PC的解析式是y=kx+b，則，
解得k=，b=-，
∴直線PC的解析式是y=x-．

（3）如圖，過點A作AE⊥PC，垂足為E．
設直線PC與x軸交于點D，則點D的坐標為（3，0）．
在Rt△OCD中，
∵OC=，OD=3，
∴．
∵OA=3，OD=3，
∴AD=6．
∵∠COD=∠AED=90°，∠CDO公用，
∴△COD∽△AED．
∴，即．
∴AE=≈2.688＞2.5
∴以點A為圓心、直徑為5的圓與直線PC相離．
點評：本題考查了拋物線解析式的求法，拋物線上特殊點的運用，及直線與圓的位置關系的判定．