Question

已知：在△ABC中AB=AC，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E在線段DF的延長(zhǎng)線上，∠BAE=∠BDF，點(diǎn)M在線段DF上，
∠ABE=∠DBM．
（1）如圖1，當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，求證：AE=

2

MD；
（2）如圖2，當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，則線段AE、MD之間的數(shù)量關(guān)系為

AE=2MD

；
（3）在（2）的條件下延長(zhǎng)BM到P，使MP=BM，連接CP，若AB=7，AE=2

7

，求tan∠PCB和tan∠ACP的值．

Answer 1

分析：（1）首先連接AD，由AB=AC，∠ABC=45°，易得AB=

2

BD，又由∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，可證得△ABE∽△DBM，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得AE=

2

MD；
（2）由∠ABC=60°，即可求得MD=

1

2

AE，繼而可得AE=2MD；
（3）首先連接AD，EP，根據(jù)題意易證得△ABC是等邊三角形，△ABE∽△DBM，繼而可證得△BEP為等邊三角形，然后在Rt△AEB中，利用勾股定理即可求得BE的長(zhǎng)，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得tan∠PCB和tan∠ACP的值．

解答：解：（1）證明：如圖1，連接AD．
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵∠ABC=45°，
∴BD=AB•cos∠ABC，
即AB=

2

BD．…（1分）
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．…（2分）
∴

AE

DM

=

AB

DB

=

2

，
∴AE=

2

MD．…（3分）

（2）∵cos∠ABC=cos60°=

1

2

，
∴MD=AE•cos∠ABC=AE•

1

2

，…（4分）
∴AE=2MD；…（5分）

（3）如圖2，連接AD，EP．
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形．…（6分）
又∵D為BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=

1

2

AB．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．…（7分）
∴

BE

BM

=

AB

DB

=2，∠AEB=∠DMB．
∴EB=2BM．
又∵BM=MP，
∴EB=BP．
∵∠EBM=∠ABC=60°，
∴△BEP為等邊三角形，…（8分）
∴EM⊥BP，
∴∠BMD=90°
∴∠AEB=90°
在Rt△AEB中，AE=2

7

，AB=7，
∴BE=

AB2-AE2

=

21

．
∴tan∠EAB=

3

2

．…（9分）
∵D為BC中點(diǎn)，M為BP中點(diǎn)，
∴DM∥PC．
∴∠MDB=∠PCB，
∴∠EAB=∠PCB．
∴tan∠PCB=

3

2

．…（10分）
在Rt△ABD中，AD=AB•sin∠ABD=

7 3

2

，
在Rt△NDC中，ND=DC•tan∠NCD=

7 3

4

，
∴NA=AD-ND=

7 3

4

．…（11分）
過(guò)N作NH⊥AC，垂足為H．
在Rt△ANH中，NH=

1

2

AN=

7 3

8

，AH=AN•cos∠NAH=

21

8

，
∴CH=AC-AH=

35

8

，
∴tan∠ACP=

3

5

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，掌握轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．