Question

已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分線，以AB上一點O為圓心，AD為弦作⊙O．
（1）在圖中作出⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡），判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AC=3，tanB=，求⊙O的半徑長．

Answer 1

解：（1）直線BC與⊙O相切．理由如下：
作圖如圖所示，連接OD，
∵AD為角平分線，∴∠OAD=∠CAD，
又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
∴直線BC與⊙O相切；

（2）在Rt△ABC中，∵AC=3，tanB=，
∴=，解得BC=4，由勾股定理，得AB==5，
設OA=OD=R，則OB=5-R，
∵∠ODB=∠ACB=90°，
∴OD∥AC，
∴△OBD∽△ABC，
∴=，即=，
解得R=，∴⊙O的半徑為．
分析：（1）作線段AD的垂直平分線，交AB于O點，以O為圓心，OA為半徑畫圓即可．連接OD，由AD為角平分線可知∠OAD=∠CAD，由OA=OD可知∠OAD=∠ODA，得出內錯角相等，判斷OD∥AC即可；
（2）在Rt△ABC中，由AC=3，tanB=，得BC=4，利用勾股定理得AB=5，設OA=OD=R，則OB=5-R，由△OBD∽△ABC，利用相似比求R的值．
點評：本題考查了圓的作圖，圓的切線的判定，相似三角形的判定與性質，解直角三角形是知識．關鍵是明確圓的有關性質，將圓的問題轉化為三角形的問題進行解答．