Question

如圖①是矩形包書紙的示意圖，虛線是折痕，四個角均為大小相同的正方形，正方形的邊長為折疊進去的寬度．
（1）現有一本書長為25cm，寬為20cm，厚度是2cm，如果按照如圖①的包書方式，并且折疊進去的寬度是3cm，則需要包書紙的長和寬分別為多少？（請直接寫出答案）．
（2）已知數學課本長為26cm，寬為18.5cm，厚為1cm，小明用一張面積為1260cm² 的矩形包書紙按如圖①包好了這本書，求折進去的寬度．
（3）如圖②，矩形ABCD是一張一個角（△AEF）被污損的包書紙，已知AB=30，BC=50，AE=12，AF=16，要使用沒有污損的部分包一本長為19，寬為16，厚為6的字典，小紅認為只要按如圖②的剪裁方式剪出一張面積最大的矩形PGCH就能包好這本字典．設PM=x，矩形PGCH的面積為y，當x取何值時y最大？并由此判斷小紅的想法是否可行．

Answer 1

解：（1）20×2+2+3×2=48cm
25+3×2=31cm
答：包書紙的長和寬分別為48cm、31cm；

（2）設折進去的寬度為xcm，由題意得
（18.5×2+1+2x）（26+2x）=1260
化簡得x²+32x-68=0
解得x₁=2，x₂=-34（不合題意，舍去）
答：折進去的寬度為2cm；

（3）由題意得EM=x，
所以y=（50-x）（30-12+x）
整理得y=-x²+x+900=-（x-13）²+
當x=13時，y最大
因為50-13=37＜16×2+6=38  
所以小紅的想法不可行．
分析：（1）仔細分析題意及圖形的特征即可得到結果；
（2）設折進去的寬度為xcm，根據“長為26 cm，寬為18.5cm，厚為1cm，矩形的面積為1260cm²”及可列方程求解，要注意解的取舍；
（3）先由題意表示出EM，再根據矩形的面積公式得到y與x的函數關系式，最后根據二次函數的性質求解即可．
點評：考查了二次函數的應用，二次函數的應用是初中數學的重點和難點，是中考常見題，一般難度不大，需熟練掌握．