Question

在平面直角坐標系中，B（+1，0），點A在第一象限內，且∠AOB=60°，∠ABO=45°。

（1）求點A的坐標； 　　
（2）求過A、O、B三點的拋物線解析式； 　　
（3）動點P從O點出發，以每秒2個單位的速度沿OA運動到點A止，①若△POB的面積為S，寫出S與時間t（秒）的函數關系；
②是否存在t，使△POB的外心在x軸上，若不存在，請你說明理由；若存在，請求出t的值。

Answer 1

解：（1）過A作AC⊥OB于C，設OC=x，　　
在Rt△AOC中，AC=x，　　
在Rt△ABC中，BC=x
∵OB=+1，　　
∴OC+BC=OB，
∴x+x=+1，　　
∴x=1、AB=BC=，　　
∴點A（1，）。
（2）∵拋物線經過A（1，）、O（0，0）、B（，0）　　
設y=a（x-0）（x--1），　　
∴=a（-）→a=-1，　　
∴y=-x²+（+1）x，　　
即經過A、O、B三點的拋物線解析式為　
y=-x²+（+1）x。
（3）①過點P作PD⊥BO于D，OP=2t，　　
∴PD=OPsin60°=2t·=t，　　
∴S=OB·PD=（+1）·t 　　
S=t（0＜t≤1）
②存在t，使△POB的外心在x軸上，即△POB的外心在OB上，　　
∴∠OPB=90°，
在Rt△OPB中，OP=OBcos60°=（+1），　　
∴OP=2t，
∴t=，　　
當t=時，△POB的外心在x軸上。