Question

課堂上，老師將圖①中△AOB繞O點逆時針旋轉，在旋轉中發現圖形的形狀和大小不變，但位置發生了變化．當△AOB旋轉90°時，得到∠A₁OB₁．已知A（4，2），B（3，0）．
（1）△A₁OB₁的面積是；A₁點的坐標為（）；B₁點的坐標為（）；
（2）課后，小玲和小惠對該問題繼續進行探究，將圖②中△AOB繞AO的中點C（2，1）逆時針旋轉90°得到△A′O′B′，設O′B′交OA于D，O′A′交x軸于E．此時A′，O′和B′的坐標分別為（1，3），（3，-1）和（3，2），且O′B′經過B點．在剛才的旋轉過程中，小玲和小惠發現旋轉中的三角形與△AOB重疊部分的面積不斷變小，旋轉到90°時重疊部分的面積（即四邊形CEBD的面積）最小，求四邊形CEBD的面積；
（3）在（2）的條件下，△AOB外接圓的半徑等于．

Answer 1

解：（1）3，A₁（-2，4），B₁（0，3）；

（2）作CG⊥BD于G，CH⊥x軸于H，
∵B'，B的橫坐標相等，
∴B'B⊥x軸，
∴四邊形CHBG為矩形．
∵C（2，1），B（3，0）
∴CG=1，
∴G（3，1），
∴GB=1，
∴CG=CH=1，
∴矩形CHBG為正方形．
∴∠HCG=90度．
∵∠ECD=90°，
∴∠HCE+∠ECG=∠GCD+∠ECG=90°
∴∠HCE=∠GCD．
在△HCE和△GCD中，
∴△HCE≌△GCD．
∴S_{四邊形CEBD}=S_{正方形CHBG}=1；

（3）由垂徑定理知，△AOB的外接圓的圓心應為OB與OA的中垂線的交點．
OB的中垂線的解析式為x=，
設OA的中垂線的解析式為y=kx+b，把點A′，O′的坐標代入得，
解得，k=-2，b=5，即OA的中垂線的解析式為y=-2x+5，
所以圓心的坐標為（，2），△AOB的外接圓的半徑==．
分析：（1）如圖1，作AE⊥OE，垂足為點E，作A₁F⊥OF，由旋轉的性質知，△OAE≌△OA₁F，有A₁F=AE=2，OF=OE=4，OB₁=OB，∴點A₁的坐標為（-2，4），點B₁的坐標為（0，3），∴S_△OB1A1=OB₁•A₁F=3；
（2）作CG⊥BD于G，CH⊥x軸于H，易得四邊形CHBG為正方形，有∠CHE=∠CGD=90°，CH=CG，∠HCE=∠GCD，∴由ASA證得△HCE≌△GCD，有S_{四邊形CEBD}=S_{正方形CHBG}=1；
（3）由垂徑定理知，△AOB的外接圓的圓心應為OB與OA的中垂線的交點．OB的中垂線的解析式為x=，OA的中垂線是點A′，點O′確定的，可由待定系數法求得OA的中垂線的解析式為y=-2x+5，所以圓心的坐標為（，4），由勾股定理求得OA=，即△AOB的外接圓的半徑為．
點評：本題利用了旋轉的性質，矩形的正方形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，待定系數法確定直線的解析式，勾股定理求解．