Question

（2013•寧德）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，過一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，若垂線與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長與面積相等，則這個(gè)點(diǎn)叫做“和諧點(diǎn)”．
如圖1，矩形ABOC的周長與面積相等，則點(diǎn)A是“和諧點(diǎn)”
（1）判斷點(diǎn)E（2，3），F(xiàn)（4，4）是否為“和諧點(diǎn)”；
（2）如圖2，若點(diǎn)P（a，b）是雙曲線y=

18

x

上的“和諧點(diǎn)”，求滿足條件的所有P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用和諧點(diǎn)的定義直接判斷得出即可；
（2）利用和諧點(diǎn)的定義，得出18=2|x+

18

x

|，進(jìn)而求出即可．

解答：解：（1）根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，過一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，若垂線與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長與面積相等，則這個(gè)點(diǎn)叫做“和諧點(diǎn)”，
∵點(diǎn)E（2，3），2×（2+3）=10，2×3=6，
∴10≠6，
∴E點(diǎn)不是“和諧點(diǎn)”，
∵點(diǎn)F（4，4），2×（4+4）=16，4×4=16，
∴16=16，
∴F點(diǎn)是“和諧點(diǎn)”；

（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為：（x，

18

x

），由題意得出：18=2|x+

18

x

|，
當(dāng)18=2（x+

18

x

）
整理得出：x²-9x+18=0，
解得：x₁=3，x₂=6，
當(dāng)-18=2（x+

18

x

）
整理得出：x²+9x+18=0，
解得：x₃=-3，x₄=-6，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，6），（6，3），（-3，-6），（-6，-3）．

點(diǎn)評：此題主要考查了新定義以及反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及一元二次方程的解法，根據(jù)定義得出正確信息是解題關(guān)鍵．