Question

如圖，某城市有一條公路，從正西方向AO經過市中心，后轉向北偏東30°方向OB．現要修建一條高速公路L，新建高速公路在OA上設一出入口A，在OB上設一出入口B，高速公路在AB段為直線段．
（1）若OA=OB=20km，求兩出入口之間的距離；
（2）若OB=2OA，市中心O到高速公路L的距離為10km，求兩出入口之間的距離；
（3）請你設計一種方案：確定兩出入口的位置（兩出入口到市中心O的距離不相等），使市中心到高速公路的距離擴大到12km．（不要求寫出計算過程）

Answer 1

解：（1）作OC⊥AB于C，
∴∠ACO=∠BCO=90°．
∵OA=OB=20km∠AOB=120°，
∴∠CAO=∠CBO=30°．
∴OC=OA=10km．
∴AC=BC=OC=10km．
∴AB=20km．
答：兩出入口之間的距離是20km．

（2）作OC⊥AB于C，作BD⊥AO交AO的延長線于D，
∴∠ACO=∠BCO=∠BDO=90°
∵∠AOB=120°
∴∠BOD=60°
∴∠OBD=90°-60°=30°
設OD=x則BD=x，
∵OB=2OA，
∴OA=x則AD=AO+DO=2x AB==x．
∵∠A=∠A，
∴△AOC∽△ABD．
∴=即=解得x=．
∴AB=x=．

（3）答案不唯一：只要能夠說出一組符合要求的OA和OB的長度即可，如取OA=15 km時，OB=km，
（OA和OB的值大于12 km，且OA≠OB，先給出OA的值，然后求OB的值）不要求寫出計算過程．
分析：（1）作OC⊥AB于C，在直角△AOC中根據三角函數求出AC，根據三線合一定理得到AB=2AC；
（2）作OC⊥AB于C，作BD⊥AO交AO的延長線于D，易證△AOC∽△ABD，根據相似三角形的對應邊的比相等，就可以求出．
（3）答案不唯一：只要能夠說出一組符合要求的OA和OB的長度即可．
點評：本題主要考查解直角三角形的條件，已知直角三角形的一個銳角和一邊長，或已知兩邊長就可以求出另外的邊和角．