Question

 在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠DAB．

(1)如圖①，當(dāng)∠DAB＝120°，∠B＝∠D＝90°時(shí)，求證：AB＋AD＝AC．

(2)如圖②，當(dāng)∠DAB＝120°，∠B與∠D互補(bǔ)時(shí)，線段AB、AD、AC有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出你的猜想，并給予證明．

(3)如圖③，當(dāng)∠DAB＝90°，∠B與∠D互補(bǔ)時(shí)，線段AB、AD、AC還有上面的數(shù)量關(guān)系嗎?說明理由。

Answer 1

解：(1)在四邊形ABCD中，∵AC平分∠DAB，∠DAB＝120°，

∴∠CAB＝∠CAD＝60°．又∵∠B＝∠D＝90°，

∴∠ACB＝∠ACD＝30°．，即AB＋AD＝AC．

(2)AB＋AD＝AC．

證明如下：如圖①，過C點(diǎn)分別作AD和AB延長(zhǎng)線的垂線段，垂足分別為E、F．

∵AC平分∠DAB，

∴CE＝CF．

∵∠ABC＋∠D＝180°，

∠ABC＋∠CBF＝180°，

∴∠CBF＝∠D．

又∵∠CED＝∠CFB＝90°，

∴△CED≌△CFB．∴ED＝BF．

∴AD＋AB＝AE＋ED＋AB＝AE＋BF＋AB＝AE＋AF．

由(1)知AE＋AF＝AC．

∴AB＋AD＝AC．

第26題答圖①

第26題答圖②

(3)AB＋AD＝AC．

證明如下：如圖②，過C點(diǎn)分別作AB和AD延長(zhǎng)線的垂線段，垂足分別是E、F．

∵AC平分∠DAB，∴CE＝CF．

∵∠ABC＋∠ADC＝180°，

∠ADC＋∠FDC＝180°，

∴∠ABC＝∠FDC．

又∵∠CEB＝∠CFD＝90°．

∴△CEB≌△CFD．∴CB＝CD．

延長(zhǎng)AB至G，使BG＝AD，連結(jié)CG．

∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠CBG＝180°，

∴∠CBG＝∠ADC．∴△GBC≌△ADC．

∴∠G＝∠DAC＝∠CAB＝45°．∴∠ACG＝90°．

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