Question

如圖，BD是⊙O的直徑，AB與⊙O相切于點B，過點D作OA的平行線交⊙O于點C，AC與BD的延長線相交于點E．
（1）試探究A E與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）已知EC=a，ED=b，AB=c，請你思考后，選用以上適當的數據，設計出計算⊙O的半徑r的一種方案：①你選用的已知數是______；②寫出求解過程．（結果用字母表示）

Answer 1

【答案】分析：要證明AE與⊙O相切，只要證明OC⊥AC就可以；由CD∥OA，根據平行線分線段成比例定理得到，得
解答：解：（1）AE與⊙O相切．（1分）
理由：連接OC，
∵CD∥OA，
∴∠AOC=∠OCD，∠ODC=∠AOB．
又∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠AOB=∠AOC．
∵OA=OA，∠AOB=∠AOC，OB=OC，
∴△AOC≌△AOB（SAS）．
∴∠ACO=∠ABO．
∵AB與⊙O相切，
∴∠ACO=∠ABO=90°．
∴OC⊥AE
∴AE與⊙O相切．（5分）

（2）①選擇a、b、c，或其中2個．
②解答舉例：
若選擇a、b、c
方法一：由CD∥OA，，得．
方法二：在Rt△ABE中，由勾股定理（b+2r）²+c²=（a+c）²，
得．
方法三：由Rt△OCE∽Rt△ABE，，得．
若選擇a、b
方法一：在Rt△OCE中，由勾股定理：a²+r²=（b+r）²，得；
方法二：連接BC，由△DCE∽△CBE，得．
若選擇a、c；需綜合運用以上多種方法，得．
點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．