Question

【題目】許多家庭以燃氣作為燒水做飯的燃料，節約用氣是我們日常生活中非常現實的問題.某款燃氣灶旋鈕位置從0度到90度，燃氣關閉時，燃氣灶旋鈕位置為0度，旋鈕角度越大，燃氣流量越大，燃氣開到最大時，旋鈕角度為90度.為測試燃氣灶旋鈕在不同位置上的燃氣用量，在相同條件下，選擇在燃氣灶旋鈕的5個不同位置上分別燒開一壺水（當旋鈕角度太小時，其火力不能夠將水燒開，故選擇旋鈕角度度的范圍是），記錄相關數據得到下表：

旋鈕角度（度）	20	50	70	80	90
所用燃氣量（升）	73	67	83	97	115

（1）請你從所學習過的一次函數、反比例函數和二次函數中確定哪種函數能表示所用燃氣量升與旋轉角度度的變化規律？說明確定這種函數而不是其他函數的理由，并求出它的解析式；

（2）當旋轉角度為多少時，燒開一壺水所用燃氣量最少？最少是多少？

（3）某家庭使用此款燃氣灶，以前習慣把燃氣開到最大，現采用最節省燃氣的旋轉角度，若該家庭現在每月的平均燃氣用量為13立方米，求現在每月平均能比以前每月節省燃氣多少立方米？

Answer 1

【答案】（1）；（2）當旋轉角度為40°時，燒開一壺水所用燃氣量最少，最少為65升；（3）家庭現在每月平均能比以前每月節省燃氣立方米.

【解析】

（1）先假設函數為一次函數，任選兩點求出函數解析式，再將各點代入驗證；再假設函數為二次函數，任選三求出函數解析式，再將各點代入驗證；

（2）將（1）所求二次函數解析式，化為頂點式，轉化為二次函數最值的問題，即可解答；

（3）由（2）及表格知，采用最節省燃氣的旋鈕角度40度比把燃氣開到最大時燒開一壺水節約用氣115-65-50，再設該家庭以前每月平均用氣量為a立方米，據此解答即可.

解：（1）①假設變化規律為一次函數，

將（20，73）和（50，67）代入函數解析式，

得解得

故 ，

將代入上式，

可得，

所以該變化規律不是一次函數.

②再假設變化規律為反比例函數，

將（20，73）代入函數解析式，得，

故，

將代入上式，

可得

所以該變化規律不是反比例函數.

③假設變化規律為二次函數

將（20，73）、（50，67）和（70，83）代入函數解析式，

得 解得

故

當時，，

當時，，

則該二次函數符合所有點，

故該變化規律為二次函數，解析式為：.

（2）由（1）可知，

所以當時，值最小，其最小值為65.

即當旋轉角度為40°時，燒開一壺水所用燃氣量最少，最少為65升.

（3）設該家庭現在每月平均能比以前每月節省燃氣立方米，

根據節約前后的比例與燃氣開到最大、最節約的比例相等，

則，

解得（立方米），

即該家庭現在每月平均能比以前每月節省燃氣立方米.