Question

【題目】已知，正方形中，點是邊延長線上一點，連接，過點作，垂足為點，與交于點．

（1）如圖甲，求證：；

（2）如圖乙，連接，若，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）由正方形的性質得出BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，利用角邊角證明△BGC≌△DEC，然后可得出CG=CE；
（2）由線段的和差，正方形的性質求出正方形的邊長為3，根據勾股定理求出線段BD=6，過點G作GH⊥DB，根據勾股定理可得出HG=DH=2，進而求出BH=4，BG=2，在Rt△HBG中可求出cos∠DBG的值．

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，
又∵BF⊥DE，
∴∠GFD=90°，
又∵∠GBC+∠BGC+∠GCB=180°，
∠GFD+∠FDG+∠DGF=180°，
∠BGC=∠DGF，∴∠CBG=∠CDE，
在△BGC和△DEC中，

，

∴△BGC≌△DEC（ASA），
∴CG=CE；
（2）過點G作GH⊥BD，設CE=x，

∵CG=CE，∴CG=x，
又∵BE=BC+CE，DC=DG+GC，BC=DC，
BE=4，DG=2，
∴4x＝2+x，解得：x=，∴BC=3，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：

，

又易得△DHG為等腰直角三角形，∴根據勾股定理可得HD=HG=2，
又∵BD=BH+HD，
∴BH=6-2=4，
在Rt△HBG中，由勾股定理得：

，

．