Question

如圖，在直線上擺放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD=6cm；在△ABC中：∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm；在直角梯形DEFG中：EF//DG，∠DGF＝90° ，DG=6cm，DE=4cm，∠EDG=60°，解答下列問題：
（1）旋轉：將△ABC繞點C順時針方向旋轉90°，請你在圖中作出旋轉后的對應圖形△A₁B₁C，并求出AB₁的長度；
（2）翻折：將△A₁B₁C沿過點B₁且與直線垂直的直線翻折，得到翻折后的對應圖形△A₂B₁C₁，試判定四邊形A₂B₁DE的形狀？并說明理由；
（3）平移：將△A₂B₁C₁沿直線向右平移至△A₃B₂C₂，若設平移的距離為x，△A₃B₂C₂與直角梯形重疊部分的面積為y，當y等于△ABC面積的一半時，x的值是多少？

Answer 1

解：（1）在△ABC中由已知得：BC=2，AC＝AB ×cos30 °=，
∴AB₁=AC+C B₁=AC+CB=.  
（2）四邊形A₂B₁DE為平行四邊形，理由如下：
∵∠EDG＝60 °，∠A2B₁C₁＝∠A₁B₁C＝∠ABC＝60 °，
∴A₂B₁∥DE
又A₂B₁＝A₁B₁＝AB＝4，DE＝4，
∴A₂B₁＝DE
故結論成立。

①或時，y=0此時重疊部分的面積不會等于△ABC的面積的一半
② 當時，直角邊B₂C₂與等腰梯形的下底邊DG重疊的長度
為DC₂=C₁C₂-DC₁=（x-2）cm，
則y＝,
當ｙ= S_△ABC= 時，即 ，解得（舍）或.
∴當時，重疊部分的面積等于△ABC的面積的一半.
③當時，△A₃B₂C₂完全與等腰梯形重疊，即
④當時，B₂G=B₂C₂-GC₂=2-（x-8）=10-x
則y＝,
當y= S_△ABC= 時，即 ，解得或(舍).
∴當時，重疊部分的面積等于△ABC的面積的一半.    
∴當或時，重疊部分的面積等于△ABC的面積的一半。